Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Если $r$ - модуль, а $\varphi$ - аргумент комплексного числа $a+bi$, то запись $r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ - **тригонометрической формой** этого числа.

Пусть $r$ - модуль, а $\varphi$ - аргумент комплексного числа $a+bi \neq 0$. Имеем $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, $\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ и $\sin\varphi=\dfrac{b}{a^{2}+b^{2}}$ !Тригонометрическая форма комплексных чисел.svg Следовательно: $$a + bi = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot \left( \dfrac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} + \dfrac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cdot i \right) = r(\cos\varphi + i \sin\varphi) ~~~\square$$

1. $a + bi = r(\cos(\varphi + 2\pi k) + i\sin(\varphi + 2\pi k)), k \in \mathbb{Z}$ (из неоднозначности аргумента) 2. 0 не имеет тригонометрической формы, так как у него не определён аргумент